Question

14．已知f（x）=（a²-a-1）x^a（a是常數(shù)）為冪函數(shù)，且在第一象限單調遞增．
（1）求f（x）的表達式；
（2）討論函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）+3x+1}{x}$在（-$\sqrt{2}$，+∞）上的單調性，并證之．

Answer 1

分析 （1）由f（x）為冪函數(shù)，且在第一象限單調遞增，列出方程組，能求出f（x）的表達式．
（2）推導出g（x）=x+$\frac{2}{x}$+3，利用定義法和分類討論思想能求出結果．

解答 解：（1）∵f（x）=（a²-a-1）x^a（a是常數(shù)）為冪函數(shù)，且在第一象限單調遞增．
∴由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-a-1=1}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解得a=2，
∴f（x）=x²．
（2）g（x）=$\frac{f（x）+3x+1}{x}$=$\frac{{x}^{2}+3x+1}{x}$=x+$\frac{2}{x}$+3，
任取x₁，x₂∈（-$\sqrt{2}，+∞$），且x₁＜x₂，
則g（x₁）-g（x₂）=（${x}_{1}+\frac{2}{{x}_{1}}+3$）-（${x}_{2}+\frac{2}{{x}_{2}}$+3）
=（x₁-x₂）+（$\frac{2}{{x}_{1}}-\frac{2}{{x}_{2}}$）=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-2）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
①當-$\sqrt{2}＜{x}_{1}＜{x}_{2}$＜0時，x₁x₂-2＜0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）在（-$\sqrt{2}$，0）上單調遞減．
②當0＜${x}_{1}＜{x}_{2}＜\sqrt{2}$時，x₁x₂-2＜0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）在（0，$\sqrt{2}$）上單調遞減．
③當$\sqrt{2}≤{x}_{1}＜{x}_{2}$時，x₁x₂-2＜0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＜0，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，即g（x₁）＜g（x₂），
∴g（x）在[$\sqrt{2}$，+∞）上單調遞增．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的單調性質的討論與證明，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想，是中檔題．