Question

6．已知數列{a_n}的首項a₁=2，a_n+1=2a_n-1（n∈N*）
（Ⅰ）寫出數列{a_n}的前5項，并歸納猜想{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）用數學歸納法證明（Ⅰ）中所猜想的通項公式．

Answer 1

分析 （I）根據遞推公式計算并猜想通項公式；
（II）先驗證n=1，假設n=k猜想成立，再利用遞推公式得出a_k+1即可得出結論．

解答 解：（I）a₁=2，a₂=3，a₃=5，a₄=9，a₅=17．
猜想：a_n=2^n-1+1．
（II）證明：當n=1時，猜想顯然成立，
假設n=k（k≥1）時，猜想成立，即a_k=2^k-1+1，
∴a_k+1=2a_k-1=2（2^k-1+1）-1=2^k+1，
即n=k+1時，猜想成立，
∴a_n=2^n-1+1（n∈N^*）恒成立．

點評 本題考查了數學歸納法證明，屬于基礎題．