Question

6．以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為$ρ=\sqrt{2}$，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$（t為參數）．
（1）點P在曲線C上，Q在直線l上，若$α=\frac{3}{4}π$，求線段|PQ|的最小值；
（2）設直線l與曲線C有兩個不同的交點，求直線l的斜率k的范圍．

Answer 1

分析 （1）點P在曲線C上，Q在直線l上，若$α=\frac{3}{4}π$，利用|PQ|的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，即可求線段|PQ|的最小值；
（2）設直線l與曲線C有兩個不同的交點，當圓心到直線的距離等于半徑時，即$\frac{|2-2k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，即可求直線l的斜率k的范圍．

解答 解：（1）$α=\frac{3}{4}π$時，易知直線l的方程為x+y-4=0，…（2分）
曲線C：$ρ=\sqrt{2}$的普通方程為x²+y²=2．…（3分）
由題意知|PQ|的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，
所以$|PQ{|_{min}}=\frac{|0+0-4|}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$．…（5分）
（2）因為α=90°時，直線l與C沒有交點，
所以直線l可化為普通方程為y-2=tanα（x-2），…（7分）
令k=tanα，即kx-y+2-2k=0，
當圓心到直線的距離等于半徑時，即$\frac{|2-2k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，
解得$k=2±\sqrt{3}$，此時它們相切，…（9分）
所以$k∈（2-\sqrt{3}，\;\;2+\sqrt{3}）$．…（10分）

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查參數方程、極坐標方程、直角坐標方程的互化，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．