Question

2．已知圓C：（x-2）²+（y-3）²=16及直線l：（m+2）x+（3m+1）y=15m+10（m∈R）．
（1）證明：不論m取什么實數，直線l與圓C恒相交；
（2）當直線l被圓C截得的弦長的最短時，求此時直線l方程．

Answer 1

分析 （1）利用直線系求出直線恒過的定點坐標判斷點與圓的位置關系，推出結果即可．
（2）利用圓的半徑弦心距與半弦長的關系判斷所求直線的位置，求出斜率，即可得到直線方程．

解答 解：（1）證明：直線l可化為2x+y-10+m（x+3y-15）=0，
即不論m取什么實數，它恒過兩直線2x+y-10=0與x+3y-15=0的交點．兩方程聯立，解得交點為（3，4）．
又有（3-2）²+（4-3）²=2＜16，
∴點（3，4）在圓內部，
∴不論m為何實數，直線l與圓恒相交．…（6分）
（2）解：從（1）的結論和直線l過定點M（3，4）且與過此點的圓C的半徑垂直時，l被圓所截的弦長|AB|最短，…（8分）
此時，k_l=-$\frac{1}{kCM}$，從而k_l=-$\frac{1}{\frac{4-3}{3-2}}$=-1，…（10分）
∴l的方程為y-4=-（x-3），即x+y=7．…（12分）

點評 本題考查直線與圓的位置關系的應用，考查計算能力．