Question

13．已知橢圓的中心在原點，焦點在y軸上且長軸長為4，短軸長為2，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=m+2t}\end{array}\right.$（t為參數）．當m為何值時，直線l被橢圓截得的弦長為$\sqrt{6}$？

Answer 1

分析 由題意求出橢圓方程，化直線的參數方程為普通方程，聯立直線方程與橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，然后利用弦長公式求解．

解答 解：由已知可設橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
且2a=4，2b=2，則a=2，b=1．
∴橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．
化直線參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=m+2t}\end{array}\right.$為y=2x+m．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得8x²+4mx+m²-4=0．
設直線l被圓所截的弦的兩個端點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則△=16m²-32（m²-4）=128-16m²＞0，得-2$\sqrt{2}$＜m＜$2\sqrt{2}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{m}{2}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}-4}{8}$．
∴|AB|=$\sqrt{5}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{5}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}-\frac{{m}^{2}-4}{2}}=\sqrt{6}$．
解得：m=$±\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴m=$±\frac{4\sqrt{5}}{5}$時，直線l被橢圓截得的弦長為$\sqrt{6}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查了參數方程化普通方程，訓練了弦長公式的應用，是中檔題．