Question

11．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且$\sqrt{3}$csinA-acosC+b-2c=0．
（1）求角A的大小；
（2）求cosB+cosC的范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知可得$\sqrt{3}sinCsinA+cosAsinC-2sinC=0$，結合sinC≠0，可得$sin（A+\frac{π}{6}）=1$，結合A的范圍可求A的值．
（2）由三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用可求cosB+cosC=sin（C+$\frac{π}{6}$），結合范圍$\frac{π}{6}＜C＜\frac{π}{2}$，利用正弦函數的性質可求范圍．

解答 解：（1）因為$\sqrt{3}csinA-acosC+b-2c=0$，
所以$\sqrt{3}sinCsinA-sinAcosC+sinB-2sinC=0$，
因為sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
所以$\sqrt{3}sinCsinA+cosAsinC-2sinC=0$，
又sinC≠0，
所以$\sqrt{3}sinA+cosA=2$，可得：$sin（A+\frac{π}{6}）=1$，
因為△ABC是銳角三角形，
所以，$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，$A=\frac{π}{3}$，
（2）因為$A=\frac{π}{3}$，
所以$B+C=\frac{2π}{3}$，$cosB+cosC=cos（{\frac{2π}{3}-C}）+cosC=sin（{C+\frac{π}{6}}）$，
因為△ABC是銳角三角形，
所以$\frac{π}{6}＜C＜\frac{π}{2}$，cosB+cosC的范圍$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}）$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數恒等變換的應用，三角形內角和定理，正弦函數的性質在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于基礎題．