Question

7．如圖，在直角坐標系xOy中，將直線y=$\frac{x}{2}$與直線x=1及x軸所圍成的圖形（陰影部分）繞x軸旋轉一周得到一個圓錐，圓錐的體積V_圓錐=${∫}_{0}^{1}$π（$\frac{x}{2}$）²dx=$\frac{π}{12}$x³|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{π}{12}$．據此類比：將曲線y=x³（x≥0）與直線y=8及y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉一周得到一個旋轉體，該旋轉體的體積V=$\frac{96π}{5}$．

Answer 1

分析 由曲線y=x³（x≥0）求出x=${y}^{\frac{1}{3}}$，
類比得出旋轉體的體積為V=${∫}_{0}^{8}$π•${{（y}^{\frac{1}{3}}）}^{2}$dy．

解答 解：根據題意，由曲線y=x³（x≥0）得出x=$\root{3}{y}$=${y}^{\frac{1}{3}}$；
類比得出旋轉體的體積為
V=${∫}_{0}^{8}$π•${{（y}^{\frac{1}{3}}）}^{2}$dy
=π${∫}_{0}^{8}$${y}^{\frac{2}{3}}$dy
=$\frac{3π}{5}$•${y}^{\frac{5}{3}}$${|}_{0}^{8}$
=$\frac{3π}{5}$×2⁵
=$\frac{96π}{5}$．
故答案為：$\frac{96π}{5}$．

點評 本題考查了類比計算旋轉體的體積應用問題，也考查了利用定積分計算幾何體體積的問題，是中檔題．