Question

17．已知對任意平面向量$\overrightarrow{AB}$=（x，y），把$\overrightarrow{AB}$繞其起點沿逆時針方向旋轉θ角得到的向量$\overrightarrow{AP}$=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉θ得到點P．
（1）已知平面內點A（2，3），點B（2+2$\sqrt{3}$，1）．把點B繞點A逆時針方向旋轉$\frac{π}{6}$角得到點P，求點P的坐標．
（2）設平面內曲線C上的每一點繞坐標原點沿順時針方向旋轉$\frac{π}{4}$后得到的點的軌跡方程是曲線y=$\frac{1}{x}$，求原來曲線C的方程．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{AB}=（2\sqrt{3}，-2）$，設點P的坐標為P（x，y），求出$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{AB}$繞點A逆時針方向旋轉$\frac{π}{6}$角得到：$\overrightarrow{AP}$，列出方程求解即可．
（2）設旋轉前曲線C上的點為（x，y），旋轉后得到的曲線$y=\frac{1}{x}$上的點為（x'，y'），通過$\left\{\begin{array}{l}x=x'cos\frac{π}{4}-y'sin\frac{π}{4}\\ y=x'sin\frac{π}{4}+y'sin\frac{π}{4}\end{array}\right.$整合求解即可．

解答 解：（1）∵A（2，3），$B（2+2\sqrt{3}，5）$，∴$\overrightarrow{AB}=（2\sqrt{3}，-2）$，
設點P的坐標為P（x，y），則$\overrightarrow{AP}=（x-2，y-3）$…（2分
）$\overrightarrow{AB}$繞點A逆時針方向旋轉$\frac{π}{6}$角得到：$\overrightarrow{AP}=（2\sqrt{3}cos\frac{π}{6}+2sin\frac{π}{6}，2\sqrt{3}sin\frac{π}{6}-2cos\frac{π}{6}）$=（4，0）…（4分）
∴（x-2，y-3）=（4，0）即$\left\{\begin{array}{l}x-2=4\\ y-3=0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=3\end{array}\right.$，
即P（6，3）…（6分）
（2）設旋轉前曲線C上的點為（x，y），旋轉后得到的曲線$y=\frac{1}{x}$上的點為（x'，y'），則$\left\{\begin{array}{l}x=x'cos\frac{π}{4}-y'sin\frac{π}{4}\\ y=x'sin\frac{π}{4}+y'sin\frac{π}{4}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}x'=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x+y）\\ y'=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（y-x）\end{array}\right.$…（10分）
代入$y=\frac{1}{x}$得x'y'=1即y²-x²=2…（12分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，向量的旋轉，考查轉化思想以及計算能力．