Question

已知點M（2，0），兩條直線l₁：2x+y-3=0與l₂：3x-y+6=0，直線l經過點M，并且與兩條直線l₁•l₂分別相交于A（x₁，y₁）•B（x₂，y₂）兩點，若A與B重合，求直線l的方程，若x₁+x₂=0，求直線l的方程．

Answer 1

考點：待定系數法求直線方程

專題：直線與圓

分析：（1）若A與B重合，可得直線過l₁•l₂的交點N的坐標，可得方程；
（2）①直線l過點M且斜率不存在時，不滿足x₁+x₂=0；②直線l過點M且斜率存在時，設其方程為y=k（x-2），分別解方程組可得x₁和x₂，由x₁+x₂=0可得k的方程，解方程可得k值，可得直線方程．

解答： 解：（1）若A與B重合，則直線過l₁•l₂的交點N，
聯立2x+y-3=0與3x-y+6=0可解得x=-

3

5

且y=

21

5

，
∴直線過點M（2，0）和N（-

3

5

，

21

5

），
∴直線的斜率k_MN=

21 5

- 3 5 -2

=-

21

13

，
∴直線的方程為y-0=-

21

13

（x-2），即21x+13y-42=0；
（2）①直線l過點M且斜率不存在時，不滿足x₁+x₂=0；
②直線l過點M且斜率存在時，設其方程為y=k（x-2），
聯立y=k（x-2）和2x+y-3=0可解得x₁=

2k+3

k+2

（k≠-2），
聯立y=k（x-2）和3x-y+6=0可解得x₂=

2k+6

k-3

（k≠3），
∵x₁+x₂=0，∴

2k+3

k+2

+

2k+6

k-3

=0，
解得k=-

3

4

或k=-1，
可得方程為x+y-2=0或3x+4y-6=0；
綜合①②可得直線的方程為：21x+13y-42=0或x+y-2=0或3x+4y-6=0

點評：本題考查待定系數法求直線的方程，涉及分類討論的思想，屬中檔題．