Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的直線l交拋物線于A，B，交其準線于點C，若

BC

=-2

BF

，|

AF

|=3，則拋物線的方程為（　　）

• A、y²=12x
• B、y²=9x
• C、y²=6x
• D、y²=3x

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，作AM、BN垂直準線于點M、N，根據|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和拋物線的定義，可得∠NCB=30°，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|BF|=x，而x₁+

p

2

=3，x₂+

p

2

=1，且x₁x₂=

p2

4

，可得（3-

p

2

）（1-

p

2

）=

p2

4

，即可求得p的值，拋物線的方程．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），作AM、BN垂直準線于點M、N，則|BN|=|BF|，
又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，
∴∠NCB=30°，
有|AC|=2|AM|=6，
設|BF|=x，則2x+x+3=6⇒x=1，
而x₁+

p

2

=3，x₂+

p

2

=1，且x₁x₂=

p2

4

，
∴（3-

p

2

）（1-

p

2

）=

p2

4

，
∴p=

3

2

，
得y²=3x．
故選：D．

點評：此題是個中檔題．考查拋物線的定義以及待定系數法求拋物線的標準方程．體現了數形結合的思想，特別是解析幾何，一定注意對幾何圖形的研究，以便簡化計算．