Question

已知函數f（x）=lnx-

1

2

ax²-2x  
（1）當a=1時，?x₀∈[1，e]，使不等式f（x₀）≤m，求實數m的取值范圍；
（2）若a=-

1

2

，且關于x的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有兩個不等的實根，求實數b的取值范圍；
（3）若在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,函數的零點與方程根的關系

專題：導數的綜合應用

分析：（1）當a=1時，?x₀∈[1，e]，使不等式f（x₀）≤m?m≥f（x）_min，x∈[1，e]．利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．
（2）a=-

1

2

，關于x的方程f（x）=-

1

2

x+b化為lnx+

1

4

x2-

3

2

x-b=0，令g（x）=lnx+

1

4

x2-

3

2

x-b，x∈[1，4]，利用導數研究其單調性極值與最值，可得：當x=2時，函數g（x）取得極小值即最小值，g（2）=ln2-2-b．而g（1）＜g（4）．由于關于x的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有兩個不等的實根，可得g（2）＜0，g（1）＞0，解出即可．
（3）在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方?f（x）＜2ax．令h（x）=f（x）-2ax=lnx-

1

2

ax²-（2+2a）x，因此f（x）＜2ax?h（x）_max＜0．h′（x）=

1

x

-ax-（2+2a）=

-ax2-(2+2a)x+1

x

，對a分類討論，利用導數研究函數h（x）的單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）當a=1時，?x₀∈[1，e]，使不等式f（x₀）≤m?m≥f（x）_min，x∈[1，e]．
f′（x）=

1

x

-x-2=

-(x2+2x-1)

x

=

-(x+1)2+2

x

＜0，
∴函數f（x）在x∈[1，e]單調遞減，
∴當x=e時，f（x）取得最小值f（e）=1-

1

2

e2-2e．
∴實數m的取值范圍是[1-

1

2

e2-2e，+∞)；
（2）a=-

1

2

，關于x的方程f（x）=-

1

2

x+b化為lnx+

1

4

x2-

3

2

x-b=0，
令g（x）=lnx+

1

4

x2-

3

2

x-b，x∈[1，4]，
g′（x）=

1

x

+

1

2

x-

3

2

=

x2-3x+2

2x

=

(x-1)(x-2)

2x

，
令g′（x）＞0，解得2＜x＜4，此時函數g（x）單調遞增；令g′（x）＜0，解得1＜x＜2，此時函數g（x）單調遞減．
∴當x=2時，函數g（x）取得極小值即最小值，g（2）=ln2-2-b．
而g（1）=-

5

4

-b，g（4）=2ln2-2-b，而g（4）-g（1）=2ln2-2+

5

4

=2ln2-

3

4

＞0，∴g（1）＜g（4）．
∵關于x的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有兩個不等的實根，
∴g（2）＜0，g（1）＞0，解得ln2-2＜b≤-

5

4

．
∴實數b的取值范圍是ln2-2＜b≤-

5

4

．
（3）在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方?f（x）＜2ax．
令h（x）=f（x）-2ax=lnx-

1

2

ax²-（2+2a）x，因此f（x）＜2ax?h（x）_max＜0．
h′（x）=

1

x

-ax-（2+2a）=

-ax2-(2+2a)x+1

x

，
①a=0時，h′（x）=

-2x+1

x

＜0，此時函數h（x）在（1，+∞）上單調遞減，h（x）＜h（1）=-2＜0，滿足條件；
②a≠0時，由△=（2+2a）²+4a＜0時，解出

-3- 5

2

＜a＜

-3+ 5

2

，
當

-3- 5

2

＜a＜

-3+ 5

2

時，-a＞0，∴h′（x）＞0，
因此函數h（x）在（1，+∞）上單調遞增，∴h（x）＞h（1）=-

1

2

a-2-2a=-

5a

2

-2，此時不滿足h（x）_max＜0，舍去．
③a≠0時，由△=（2+2a）²+4a＞0時，解得a＞

-3+ 5

2

或a＜

-3- 5

2

，
當a＜

-3- 5

2

時，-a＞0，由h′（x）=0，x₁+x₂=-

2+2a

a

＜0，x1x2=

1

-a

＞0，∴x₁，x₂＜0．
h′(x)=

-a(x-x1)(x-x2)

x

＞0，此時函數h（x）單調遞增，舍去．
當a＞0時，x₁=

-(1+a)- a2+3a+1

a

＜0，x2=

-(1+a)+ a2+3a+1

a

＜1，
當x＞1時，h′（x）＜0，此時函數h（x）單調遞減，∴h（x）＜h（1）=-

5a

2

-2＜0，滿足題意．
當

-3+ 5

2

＜a＜0時，x₁x₂＞1，x₁+x₂＞0，x₂＜1＜x₁．
∴函數h（x）在區間（1，x₁）單調遞減，在（x₁，+∞）單調遞增，舍去．
綜上可得：實數a的取值范圍是a≥0．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值值域及其函數的零點、一元二次方程的實數根與判別式的關系、根與系數的關系，考查了等價轉化能力，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于較難題．