Question

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，點E是PD的中點．
（Ⅰ）求證：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）求證：AC⊥PB．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）欲證PB∥面AEC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PB與面AEC內(nèi)一直線平行即可，連接BD交AC于點O，并連接EO，根據(jù)中位線可知EO∥PB，PB?面AEC，EO?面AEC滿足定理所需條件．
（Ⅱ）欲證AC⊥PB，可先證AC⊥面PAB，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AC與面PAB內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)PA⊥面ABCD，AC?面ABCD，可得PA⊥AC，又因AB⊥AC，PA∩AC=A，PA?面PAB，AB?面PAB，滿足定理所需條件；

解答： 證明：（Ⅰ）連接BD交AC于點O，并連接EO，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴O為BD的中點又∵E為PD的中點，
∴在△PDB中EO為中位線，EO∥PB，
∵PB?面AEC，EO?面AEC∴PB∥面AEC．
（Ⅱ）∵PA⊥面ABCD，AC?面ABCD，∴PA⊥AC，
又∵AB⊥AC，PA∩AC=A，PA?面PAB，AB?面PAB，
∴AC⊥面PAB，
∴AC⊥PB．

點評：本題考查了空間兩直線的位置關(guān)系，以及直線與平面平行的判定等有關(guān)知識，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．