Question

如圖，已知海島A與海岸公路BC的距離為50km，B、C間的距離為100km，從A到C，必須先坐船到BC上某一點D，船速為25km/h，再乘汽車，車速為50km/h．
設∠BAD=θ．記∠BAD=α（α為確定的銳角，滿足tanα=

1

2

（1）試將由A到C所用時間t表示為θ的函數t（θ），并指出函數的定義域；
（2）問θ為多少時，使從A到C所用時間最少？并求出所用的最少時間．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,解三角形的實際應用

專題：計算題,應用題,導數的綜合應用

分析：（1）用θ表示出AD與BD，從而可以表示出DC，由路程除以速度得時間，建立起時間關于θ函數即可；
（2）對函數進行求導研究函數的單調性，借助三角函數的性質可得出當當θ=

π

6

時，用時最少，代入函數關系式求出最值即可．

解答： 解：（1）AD=

50

cosθ

，所以A到D所用時間t₁=

2

cosθ

，BD=50tanθ=

50sinθ

cosθ

，
∴DC=100-BD=100-50tanθ=100-

50sinθ

cosθ

，
所以D到C所用時間t₂=2-

sinθ

cosθ

，
所以t（θ）=t₁+t₂=2+

2-sinθ

cosθ

，定義域為[0，α]，α∈[0，

π

2

）．                   
（2）t′（θ）=

-cos2θ+sinθ(2-sinθ)

cos2θ

=

2sinθ-1

cos2θ

令t'（θ）＞0，則sinθ＞

1

2

，即有

π

6

＜θ＜

π

2

，
由于∠BAD=α，則

π

6

＜θ＜α，t（θ）單調增；     
令t'（θ）＜0，則sinθ＜

1

2

，即有0＜θ＜

π

6

，t（θ）單調減；
因此，θ=

π

6

，t（θ）取到最小值2+

3

．                               
答：當θ=

π

6

時，由A到C的時間t最少，最少時間為2+

3

小時．

點評：本題考查在實際問題中建立三角函數模型，應用三角函數模型求解用時最少的問題，求解本題的關鍵是對問題進行細致分析得出符合條件的函數模型，本題在求最值時用到了導數研究單調性，用導數研究函數的單調性是一個非常方便的工具，遇到判斷函數的單調性的問題時不妨優先考慮一下用導數．本題符號較多，運算較繁，極易出錯，做題時要認真嚴謹．