Question

已知函數：f（x）=

x+1-a

a-x

（a∈R且x≠a）
（1）當a=1時，求f（x）值域；
（2）證明：f（a-x）+f（a+x）=-2；
（3）設函數g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：（1）將a=1代入函數的解析式求出函數的表達式，從而求出函數的值域；
（2）先根據已知得到f（2a-x），帶入f（x）+2+f（2a-x）直接運算即可；
（3）分情況討論x≥a-1和x＜a-1兩類情況，去掉絕對值，利用二次函數的性質，即可確定g（x）的最小值．

解答： 解：（1）a=1時，f（x）=

x

1-x

=-1-

1

x-1

，
∴f（x）的值域是：（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）；
（2）證明：∵f（x）=

x+1-a

a-x

，
∴f（a-x）=

a-x+1-a

a-a+x

=

1-x

x

，f（a+x）=

a+x+1-a

a-a-x

=-

x+1

x

，
∴f（a-x）+f（a+x）=

1-x

x

-

1+x

x

=-2，
∴命題得證．
（3）g（x）=x²+|x+1-a|（x≠a）
①當x≥a-1且x≠a時，g（x）=x²+x+1-a=(x+

1

2

)2+

3

4

-a，
如果a-1≥-

1

2

即a≥

1

2

時，則函數在[a-1，a）和（a，+∞）上單調遞增g（x）min=g（a-1）=（a-1）2
如果a-1＜-

1

2

即a＜

1

2

且a≠-

1

2

時，g（x）_min=g（-

1

2

）=

3

4

-a，
當a=-

1

2

時，g（x）最小值不存在；
②當x≤a-1時g（x）=x²-x-1+a=(x-

1

2

)2+a-

5

4

，
如果a-1＞

1

2

，即a＞

3

2

時，g（x）_min=g（

1

2

）=a-

5

4

，
如果a-1≤

1

2

，即a≤

3

2

時，g（x）_min=g（a-1）=（a-1）²，
當a＞

3

2

時，（a-1）²-（a-

5

4

）=(a-

3

2

)2＞0，
當a＜

1

2

時，（a-1）²-（

3

4

-a）=(a-

1

2

)2＞0，
綜合得：當a＜

1

2

且a≠-

1

2

時，g（x）最小值是

3

4

-a，
當

1

2

≤a≤

3

2

時，g（x）最小值是（a-1）²；
 當a＞

3

2

時，g（x）最小值為a-

5

4

當a=-

1

2

時，g（x）最小值不存在．

點評：本題考查絕對值函數的化簡，利用二次函數性質求最值，以及分類討論的數學思想，屬于難題．