Question

已知曲線C的極坐標方程為ρ²-4

2

ρcos（θ-

π

4

）+6=0，求：
（Ⅰ）曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設點P（x，y）是曲線C上任意一點，求xy的最大值和最小值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（I）曲線C的極坐標方程為ρ²-4

2

ρcos（θ-

π

4

）+6=0，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出．
（II）設

x-2

2

=cosθ，

y-2

2

=sinθ，可得xy=（2+

2

cosθ）（2+

2

sinθ）=4+2

2

（cosθ+sinθ）+2cosθsinθ．設t=cosθ+sinθ，則t=

2

sin(θ+

π

4

)，t∈[-

2

，

2

]，可得xy=3+2

2

t+t²=(t-

2

)2+1．再利用二次函數的單調性即可得出．

解答： 解：（I）原方程可化為ρ²-4

2

ρ(

2

2

cosθ+

2

2

sinθ)+6=0，即ρ²-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0．
把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入可得x²+y²-4x-4y+6=0，
即（x-2）²+（y-2）²=2，此方程即為所求普通方程．
（II）設

x-2

2

=cosθ，

y-2

2

=sinθ，
則xy=（2+

2

cosθ）（2+

2

sinθ）=4+2

2

（cosθ+sinθ）+2cosθsinθ．
設t=cosθ+sinθ，則t=

2

sin(θ+

π

4

)，∴t∈[-

2

，

2

]，
t²=1+2cosθsinθ，從而2cosθsinθ=t²-1．
∴xy=3+2

2

t+t²=(t-

2

)2+1．
當t=-

2

時，xy取得最小值1；當t=

2

時，xy取得最大值9．

點評：本題考查了極坐標化為直角坐標、圓的方程、三角函數代換、二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．