Question

定義域為R的奇函數f（x）=x|x+m|，若對任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤2，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：定義域為R的奇函數f（x）=x|x+m|，由f（-x）=-f（x），即-x|-x+m|=-x|x+m|，則|x-m|=|x+m|對于x∈R都成立，可得m=0．因此f（x）=x|x|．由于對任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤2，且f（x）=x²．可得（1+a）²-1≤2，a＞0．解出即可．

解答： 解：∵定義域為R的奇函數f（x）=x|x+m|，
∴f（-x）=-f（x），即-x|-x+m|=-x|x+m|，則|x-m|=|x+m|對于x∈R都成立，
∴m=0．
∴f（x）=x|x|．
∵對任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤2，且f（x）=x²．
∴（1+a）²-1≤2，
化為a²+2a-2≤0，a＞0，
0＜a＜

3

-1，
∴實數a的取值范圍是：(0，

3

-1]．
故答案為：(0，

3

-1]．

點評：本題考查了函數奇偶性、二次函數的單調性、含絕對值函數的性質，屬于難題．