Question

若f（x）是定義在（-4，4）上的奇函數，且在（-4，0]上為減函數，則不等式f（x-2）+f（4+x）≤0的解集為

 

．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：運用奇函數的定義和性質，可得奇函數f（x）在（-4，4）上為減函數，不等式f（x-2）+f（4+x）≤0即為
f（x-2）≤-f（x+4）=f（-x-4），則

-4＜x-2＜4 -4＜-x-4＜4 x-2≥-x-4

，分別解出它們，再求交集即可．

解答： 解：f（x）是定義在（-4，4）上的奇函數，
則f（-x）=-f（x），f（0）=0，
在（-4，0]上為減函數，
則有f（x）在[0，4）上也為減函數，
則f（x）在（-4，4）上為減函數．
不等式f（x-2）+f（4+x）≤0即為
f（x-2）≤-f（x+4）=f（-x-4），
則

-4＜x-2＜4 -4＜-x-4＜4 x-2≥-x-4

，即

-2＜x＜6 -8＜x＜0 x≥-1

，
解得，-1≤x＜0．
則解集為[-1，0）．
故答案為：[-1，0）．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性的運用：解不等式，注意等價變形，特別是定義域不能忽視，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．