Question

市場上有一種新型的強力洗衣液，特點是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）個單位的洗衣液在一定量水的洗衣機中，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時間x（分鐘）變化的函數關系式近似為y=a•f（x），其中f（x）=

16 8-x -1，0≤x≤4 5- 1 2 x，4＜x≤10

．若多次投放，則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應時刻所釋放的濃度之和．根據經驗，當水中洗衣液的濃度不低于4（克/升）時，它才能起到有效去污的作用．
（Ⅰ）若只投放一次4個單位的洗衣液，則有效去污時間可達幾分鐘？
（Ⅱ）若第一次投放2個單位的洗衣液，6分鐘后再投放a個單位的洗衣液，要使接下來的4分鐘中能夠持續有效去污，試求a的最小值（按四舍五入精確到0.1）．

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：應用題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（I）a=4，所以y=

64 8-x -4，0≤x≤4 20-2x，4＜x≤10

，利用水中洗衣液的濃度不低于4（克/升），利用分段函數的意義分類討論即可解出；
（II）當6≤x≤10時，y=2×（5-

1

2

x）+a[

16

8-(x-6)

-1]=（14-x）+

16a

14-x

-a-4≥8

a

-a-4，利用基本不等式，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）因為a=4，所以y=

64 8-x -4，0≤x≤4 20-2x，4＜x≤10

．（1分）
則當0≤x≤4時，由

64

8-x

-4≥4，解得x≥0，所以此時0≤x≤4．（3分）
當4＜x≤10時，由20-2x≥4，解得x≤8，所以此時4＜x≤8．（5分）
綜上，得0≤x≤8，若一次投放4個單位的洗衣液，則有效去污時間可達8分鐘．（6分）
（Ⅱ）當6≤x≤10時，y=2×（5-

1

2

x）+a[

16

8-(x-6)

-1]=（14-x）+

16a

14-x

-a-4≥8

a

-a-4（10分）
當且僅當14-x=4

a

時等號取到．（因為1≤a≤4，所以x∈[6，10]能取到）
所以y有最小值8

a

-a-4．（12分）
令8

a

-a-4≥4，解得24-16

2

≤a≤4，
所以a的最小值為24-16

2

≈1.4．（14分）

點評：本題考查了分段函數的意義及基本不等式的運用、分類討論等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．