Question

已知a_n+1=a_n²-na_n+1，a₁=3．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求證：a_n≥n+2．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件，分別取n=1，n=2，利用遞推思想能求出a₂，a₃的值．
（2）利用數學歸納法首先驗證n=1時，不等式成立，再假設n=k（k∈N^*）時，a_k≥k+2，由此推導出n=k+1時，結論成立，由此能證明a_n≥n+2．

解答： （1）解：∵a_n+1=a_n²-na_n+1，a₁=3，
∴a₂=9-3+1=7，
a₃=49-14+1=36．…（4分）
（2）證明：①n=1時，3=1+2成立
②假設n=k（k∈N^*）時，a_k≥k+2，
n=k+1時，a_k+1=ak2-ka_k+1=a_k（a_k-k）+1，
∵a_k≥k+2＞0，a_k-k≥0，
∴a_k（a_k-k）≥2（k+2），
∴a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥2（k+2）+1
=（k+1）+2+k+1
＞k+1+2，
∴n=k+1時結論成立．
綜上：由①②知：a_n≥n+2．…（10分）

點評：本題考查數列中第2項和第3項的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意數學歸納法的合理運用．