Question

1．已知平面上一條直線l上有三個不同的點A，B，C，O是直線l外一點，滿足$\overrightarrow{OA}=\frac{a}{4}\overrightarrow{OB}+\frac{b}{4}\overrightarrow{OC}（a，b∈R）$，則$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{{3+2\sqrt{2}}}{4}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $\frac{{2+2\sqrt{2}}}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 根據向量的共線定理可得$\frac{a}{4}$+$\frac{b}{4}$=1，再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵平面上一條直線l上有三個不同的點A，B，C，O是直線l外一點，滿足$\overrightarrow{OA}=\frac{a}{4}\overrightarrow{OB}+\frac{b}{4}\overrightarrow{OC}（a，b∈R）$，
∴$\frac{a}{4}$+$\frac{b}{4}$=1，
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{4}$（a+b）（$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{4}$（2+1+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$）≥$\frac{1}{4}$（3+2$\sqrt{2}$），當且僅當a=$\sqrt{2}$b時取等號，
故$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值為$\frac{1}{4}$（3+2$\sqrt{2}$），
故選：A

點評 本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．