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12.?dāng)?shù)列an=2n+1,其前n項(xiàng)和為Tn,若不等式nlog2(Tn+4)-λ(n+1)+7≥3n對(duì)一切n∈N*恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(  )
A.λ≤3B.λ≤4C.2≤λ≤3D.3≤λ≤4

分析 不等式nlog2(Tn+4)-λbn+7≥3n化為n2-n+7≥λ(n+1),可得λ≤$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$對(duì)一切n∈N*恒成立,利用不等式,即可得出結(jié)論.

解答 解∵an=2n+1
∴Tn=$\frac{4(1-{2}^{n})}{1-2}$=2n+2-4.
不等式nlog2(Tn+4)-λ(n+1)+7≥3n化為n2-n+7≥λ(n+1),
∵n∈N*
∴λ≤$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$對(duì)一切n∈N*恒成立.
而$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$=$\frac{(n+1)^{2}-3(n+1)+9}{n+1}$=(n+1)+$\frac{9}{n+1}$-3≥2$\sqrt{(n+1)•\frac{9}{n+1}}$-3=3,
當(dāng)且僅當(dāng)n+1=$\frac{9}{n+1}$即n=2時(shí)等號(hào)成立,
∴λ≤3,
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)于求和,突出考查基本不等式的運(yùn)用,考查運(yùn)算、分析、求解的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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C.a,b,c中至少有一個(gè)為0D.a,b,c中至少有一個(gè)不為0

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4.已知a>b>0,c≠0,則下列不等式中不恒成立的是(  )
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1.已知平面上一條直線l上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,O是直線l外一點(diǎn),滿足$\overrightarrow{OA}=\frac{a}{4}\overrightarrow{OB}+\frac{b}{4}\overrightarrow{OC}(a,b∈R)$,則$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值為(  )
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2.參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{t}}\\{y=\frac{1}{t}\sqrt{{t}^{2}-1}}\end{array}\right.$(t為參數(shù))所表示的曲線是(  )
A.B.C.D.

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