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6.設(shè)函數(shù)f(x)=(x2+2)lnx,g(x)=2x2+ax,a∈R
(1)證明:f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù);
(2)設(shè)F(x)=f(x)-g(x),當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),F(xiàn)(x)>0恒成立,求a的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a<$\frac{{(x}^{2}+2)lnx-{2x}^{2}}{x}$在x∈[1,+∞)上恒成立,設(shè)$G(x)=\frac{{({x^2}+2)lnx-2{x^2}}}{x}$,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出G(x)的最小值,從而求出a的范圍即可.

解答 解:(1)證明:$f'(x)=2xlnx+x+\frac{2}{x}$,
∵x>1,∴l(xiāng)nx>0,∴$2xlnx+x+\frac{2}{x}>0$,
∴f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù);
(2)由F(x)=f(x)-g(x)=(x2+2)lnx-2x2-ax>0得:
a<$\frac{{(x}^{2}+2)lnx-{2x}^{2}}{x}$在x∈[1,+∞)上恒成立,
設(shè)$G(x)=\frac{{({x^2}+2)lnx-2{x^2}}}{x}$,則$G'(x)=\frac{{({x^2}-2)(lnx-1)}}{x^2}$,
所以G(x)在$(1,\sqrt{2})$遞增,$(\sqrt{2},e)$遞減,(e,+∞)遞增,
所以G(x)的最小值為G(1),G(e)中較小的,$G(e)-G(1)=\frac{2}{e}-e+2>0$,
所以:G(e)>G(1),即:G(x)在x∈[1,+∞)的最小值為G(1)=-2,
只需a<-2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想,轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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16.解下列關(guān)于未知數(shù)x的不等式:
(1)|x-1|>2;
(2)a1-x<ax+1(0<a<1).

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17.已知函數(shù)$h(x)=\frac{4}{{\sqrt{x}}}$,則h'(4)等于(  )
A.$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$-\frac{1}{4}$D.$\frac{1}{8}$

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14.已知定義在R上的函數(shù)$f(x)=\frac{1}{3}a{x^3}+{x^2}+ax+1$既有極大值又有極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.[-1,0)∪(0,1]C.(-1,1)D.(-1,0)∪(0,1)

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1.已知平面上一條直線l上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,O是直線l外一點(diǎn),滿足$\overrightarrow{OA}=\frac{a}{4}\overrightarrow{OB}+\frac{b}{4}\overrightarrow{OC}(a,b∈R)$,則$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值為(  )
A.$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{4}$B.$2\sqrt{2}$C.$\frac{{2+2\sqrt{2}}}{3}$D.3

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11.k>3是方程$\frac{x^2}{k-3}-\frac{y^2}{k+3}=1$表示雙曲線的(  )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

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18.設(shè)實(shí)數(shù)x和y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤10}\\{x-y≤2}\\{x≥4}\end{array}\right.$,則z=2x+3y的最大值為(  )
A.26B.24C.16D.14

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15.若數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式分別是an=(-1)2017•a,bn=2+$\frac{{{{(-1)}^{n+2018}}}}{n}且{a_n}<{b_n}$對(duì)任意n∈N*恒成立,則常數(shù)a的取值范圍是[-2,1).

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2.利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考慮兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y是否有關(guān)系時(shí),通過(guò)查閱下表來(lái)確定斷言“X和Y有關(guān)系”的可信度.如果k>5.024,那么就有把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”的百分比為97.5%.
P(K2≥k)0.500.400.250.150.10
k0.4550.7081.3232.0722.706
P(K2≥k)0.050.0250.010.0050.001
k3.8415.0246.6357.87910.828

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