Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=（x²+2）lnx，g（x）=2x²+ax，a∈R
（1）證明：f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＜$\frac{{（x}^{2}+2）lnx-{2x}^{2}}{x}$在x∈[1，+∞）上恒成立，設(shè)$G（x）=\frac{{（{x^2}+2）lnx-2{x^2}}}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出G（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）證明：$f'（x）=2xlnx+x+\frac{2}{x}$，
∵x＞1，∴l(xiāng)nx＞0，∴$2xlnx+x+\frac{2}{x}＞0$，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）由F（x）=f（x）-g（x）=（x²+2）lnx-2x²-ax＞0得：
a＜$\frac{{（x}^{2}+2）lnx-{2x}^{2}}{x}$在x∈[1，+∞）上恒成立，
設(shè)$G（x）=\frac{{（{x^2}+2）lnx-2{x^2}}}{x}$，則$G'（x）=\frac{{（{x^2}-2）（lnx-1）}}{x^2}$，
所以G（x）在$（1，\sqrt{2}）$遞增，$（\sqrt{2}，e）$遞減，（e，+∞）遞增，
所以G（x）的最小值為G（1），G（e）中較小的，$G（e）-G（1）=\frac{2}{e}-e+2＞0$，
所以：G（e）＞G（1），即：G（x）在x∈[1，+∞）的最小值為G（1）=-2，
只需a＜-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．