Question

16．函數f（x）=x³-3x-1，若對于區間[-3，2]上的任意x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，則實數t的最小值是20．

Answer 1

分析 對于區間[-3，2]上的任意x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，等價于對于區間[-3，2]上的任意x，都有f（x）_max-f（x）_min≤t，利用導數確定函數的單調性，求最值，即可得出結論．

解答 解：對于區間[-3，2]上的任意x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，
等價于對于區間[-3，2]上的任意x，都有f（x）_max-f（x）_min≤t，
∵f（x）=x³-3x-1，∴f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
∵x∈[-3，2]，
∴函數在[-3，-1]、[1，2]上單調遞增，在[-1，1]上單調遞減，
∴f（x）_max=f（2）=f（-1）=1，f（x）_min=f（-3）=-19，
∴f（x）_max-f（x）_min=20，
∴t≥20，
∴實數t的最小值是20，
故答案為：20．

點評 本題考查導數知識的運用，考查恒成立問題，正確求導，確定函數的最值是關鍵．