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11.已知橢圓E的中心在原點,焦點F1,F(xiàn)2在y軸上,離心率為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$,P是橢圓E上的點,以線段PF1為直徑的圓經(jīng)過F2,且$9\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=1$.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)作直線l與橢圓交于兩個不同的點M,N,如果線段MN被直線2x+1=0平分,求直線l的傾斜角的取值范圍.

分析 (Ⅰ)設(shè)橢圓方程,則橢圓的離心率公式$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,根據(jù)橢圓的定義可知m+n=2a,由PF2⊥F1F2,n2+(2c)2=m2,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,即可求得n=$\frac{1}{3}$,代入即可求得a和b的值,求得橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l的方程,代入橢圓方程,中點坐標(biāo)公式及韋達定理即可求得b=$\frac{{k}^{2}+9}{2k}$,根據(jù)△>0,即可求得直線斜率的取值范圍,求得直線的傾斜角的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)由題意可設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$,(a>b>0),
由題意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,①設(shè)丨PF1丨=m,丨PF2丨=n(m>0,n>0),則有m+n=2a,②
以線段PF1為直徑的圓經(jīng)過F2,則PF2⊥F1F2
∴n2+(2c)2=m2,③又由$9\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=1$.
∴9mncos∠F1PF2=1,即9mn=$\frac{n}{m}$=1,即n2=$\frac{1}{9}$,n=$\frac{1}{3}$,
由①②③解得:a=3,c=2$\sqrt{2}$,
則b2=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1,
∴橢圓E的方程為$\frac{y^2}{9}+{x^2}=1$;
(Ⅱ)假設(shè)存在直線l,則依題意得l交橢圓所得弦MN被x=-$\frac{1}{2}$平分,
∴直線l的斜率存在.設(shè)直線l的方程為y=kx+b,設(shè)M(x1,y1),N(x1,y1),
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$,
消去y,整理得(k2+9)x2+2kbx+b2-9=0,
x1+x2=$\frac{2kb}{{k}^{2}+9}$,
△=4k2b2-4(k2+9)(b2-9)=36(k2-b2+9),
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{kb}{{k}^{2}+9}$=-$\frac{1}{2}$,
∴b=$\frac{{k}^{2}+9}{2k}$,將上式代入判別式,由△>0,可得k2-($\frac{{k}^{2}+9}{2k}$)2+9>0,解得k>$\sqrt{3}$或k<-$\sqrt{3}$,
則直線l傾斜角的取值范圍為$(\frac{π}{3},\frac{π}{2})∪(\frac{π}{2},\frac{2π}{3})$.

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達定理,中點坐標(biāo)公式,考查計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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