Question

10．如圖，一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，已知OA=$\sqrt{10}$，點B的坐標為（m，-2），tan∠AOC=$\frac{1}{3}$．
（1）求反比例函數、一次函數的解析式；
（2）求三角形ABO的面積；
（3）在y軸上存在一點P，使△PDC與△CDO相似，求P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）過A作AE⊥x軸于E，tan∠AOE=$\frac{1}{3}$，可得OE=3AE，利用勾股定理得，可得AE=1，OE=3，A的坐標為（3，1），A點在雙曲線上，可得反比例函數，B（m，-2）在雙曲線上，可得B的坐標，可得一次函數的解析式；
（2）三角形S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD，利用坐標可求．
（3）過點C作CP⊥AB，交y軸于點P，C，D在直線AB上．此時△PDC與△CDO相似，可得P的坐標．

解答 解：（1）過A作AE⊥x軸于E，tan∠AOE=$\frac{1}{3}$，∴OE=3AE，
∵OA=$\sqrt{10}$，由勾股定理得：OE²+AE²=10，解得：AE=1，OE=3，∴A的坐標為（3，1），
∵A點在雙曲線上y=$\frac{k}{x}$上，∴1=$\frac{k}{3}$，∴k=3，
∴雙曲線的解析式y=$\frac{3}{x}$；
∵B（m，-2）在雙曲y=$\frac{3}{x}$上，∴-2=$\frac{3}{m}$，解得：m=-$\frac{3}{2}$，∴B的坐標是（-$\frac{3}{2}$，-2），
代入一次函數的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=1}\\{-\frac{3}{2}a+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$
則一次函數的解析式為：y=$\frac{2}{3}$x-1；
（2）連接BO，∵一次函數的解析式為：y=$\frac{2}{3}$x-1；
∴D（0，-1），
∴三角形S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=$\frac{1}{2}$×DO×3+$\frac{1}{2}$×DO×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$．
（3）過點C作CP⊥AB，交y軸于點P，
∵C，D兩點在直線y=$\frac{2}{3}$x-1上，
∴C，D的坐標分別是：C（，0），D（0，-1）．
即：OC=$\frac{3}{2}$，OD=1，∴DC=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∵△PDC∽△CDO，∴$\frac{PD}{DC}=\frac{DC}{DO}$，∴PD=$\frac{D{C}^{2}}{DO}$，
又∵OP=DP-OD=$\frac{13}{4}$-1=$\frac{9}{4}$，
∴P點坐標為（0，$\frac{9}{4}$）．

點評 本題考查了反比例函數、一次函數的解析式求法，三角形的面積求法和相似三角形的性質運用．屬于中檔題．