Question

1．已知AC，BD為圓x²+y²=16的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，2），則四邊形ABCD面積的最大值為
27．

Answer 1

分析 設圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，由此表示出|AC|、|BD|，利用基本不等式求出四邊形ABCD面積的最大值．

解答 解：∵圓O：x²+y²=16，
∴圓心O坐標（0，0），半徑r=4，
設圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，
∵M（1，2），
則d₁²+d₂²=OM²=1²+2²=5，
∴|AC|=2$\sqrt{16-{p9vv5xb5_{1}}^{2}}$，|BD|=2$\sqrt{16-{p9vv5xb5_{2}}^{2}}$，
∴四邊形ABCD的面積為
S=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=2$\sqrt{16-{p9vv5xb5_{1}}^{2}}$•$\sqrt{16-{p9vv5xb5_{2}}^{2}}$≤（16-d₁²）+（16-d₂²）=32-5=27，
當且僅當d₁² =d₂²時取等號，
∴四邊形ABCD面積的最大值為27．
故答案為：27．

點評 本題考查了直線與圓的應用問題，也考查了對角線互相垂直的四邊形面積的求法以及基本不等式的應用問題，是中檔題目．