Question

16．河大校辦工廠生產的產品A的直徑均位于區間[110，118]內（單位：mm）．若生產一件產品A的直徑位于區間[110，112），[112，114），[114，116），[116，118]內該廠可獲利分別為10，20，30，10（單位：元），現從該廠生產的產品A中隨機抽取100件測量它們的直徑，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求a的值，并估計該廠生產一件A產品的平均利潤；
（2）現用分層抽樣法從直徑位于區間[112，116）內的產品中隨機抽取一個容量為5的樣本，再從樣本中隨機抽取兩件產品進行檢測，求兩件產品中至少有一件產品的直徑位于區間[112，114）內的概率．

Answer 1

分析 （1）利用所有小矩形的面積之和為1求得a值；根據頻數=頻率×樣本容量求得各組的頻數，代入平均數公式計算；
（2）根據頻率分布直方圖求得直徑位于區間[112，114）和[114，116）的頻率之比，可得在兩組中應取的產品數，利用寫出所有基本事件的方法求符合條件的基本事件個數比．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得：2×（0.050+0.150+a+0.075）=1⇒a=0.225，
直徑位于區間[110，112）的頻數為100×2×0.050=10，位于區間[112，114）的頻數為100×2×0.150=30，
位于區間[114，116）的頻數為100×2×0.225=45，位于區間[116，118）的頻數為100×2×0.075=15，
∴生產一件A產品的平均利潤為$\frac{10×10+20×30+30×45+10×15}{100}$=22（元）      …（6分）
（2）由頻率分布直方圖得：直徑位于區間[112，114）和[114，116）的頻率之比為2：3，
∴應從直徑位于區間[112，114）的產品中抽取2件產品，記為A、B，
從直徑位于區間[114，116）的產品中抽取3件產品，記為a、b、c，從中隨機抽取兩件，所有可能的取法有（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）10種，其中兩件產品中至少有一件產品的直徑位于區間[112，114）內的取法有（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c）共7種．
∴所求概率為$P=\frac{7}{10}$…（12分）

點評 本題考查了分層抽樣方法，考查了古典概型的概率計算，讀懂頻率分布直方圖是解答本題的關鍵．