Question

18．已知函數f（x）=$\frac{x+3}{x-a+2}$．
（Ⅰ）當a=1時，用定義證明f（x）在（-∞，-1）上單調遞減；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，+∞）上單調遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1時，分離常數得到$f（x）=1+\frac{2}{x+1}$，根據減函數的定義，設任意的x₁＜x₂＜-1，然后作差，通分，證明f（x₁）＞f（x₂），這樣即可得出f（x）在（-∞，-1）上單調遞減；
（Ⅱ）分離常數得出$f（x）=1+\frac{a+1}{x-a+2}$，由于f（x）在（-1，+∞）上單調遞減，這樣根據反比例函數的單調性即可得出$\left\{\begin{array}{l}{a+1＞0}\\{a-2≤-1}\end{array}\right.$，從而得出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）證明：a=1時，$f（x）=\frac{x+3}{x+1}=1+\frac{2}{x+1}$；
設x₁＜x₂＜-1，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{x}_{1}+1}-\frac{2}{{x}_{2}+1}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$；
∵x₁＜x₂＜-1；
∴x₂-x₁＞0，x₁+1＜0，x₂+1＜0；
∴$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-1）上單調遞減；
（Ⅱ）$f（x）=\frac{x+3}{x-a+2}=\frac{x-a+2+a+1}{x-a+2}=1+\frac{a+1}{x-a+2}$；
∵f（x）在（-1，+∞）上單調遞減；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1＞0}\\{a-2≤-1}\end{array}\right.$；
∴-1＜a≤1；
∴a的取值范圍為（-1，1]．

點評 考查分離常數法的運用，減函數的定義，根據減函數定義證明一個函數為減函數的方法和過程，以及反比例函數的單調性．