Question

7．已知函數f（x）=x³-9x+5．
（1）求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線與坐標軸圍成三角形的面積；
（2）求f（x）的單調區間和極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f′（2），f（2），求出切線方程即可；
（2）解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數極值問題．

解答 解：（1）∵f'（x）=3x²-9，∴f'（2）=3．∵f（2）=-5，…（2分）
∴曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y+5=3（x-2），即y=3x-11．…（4分）
令x=0得y=-11；令y=0得$x=\frac{11}{3}$．故所求三角形的面積為$\frac{1}{2}×11×\frac{11}{3}=\frac{121}{6}$．…（6分）
（2）令f'（x）=0得$x=±\sqrt{3}$．…（7分）
令f'（x）＞0得$x＜-\sqrt{3}$或$x＞\sqrt{3}$；令f'（x）＜0得$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{3}$．…（8分）
∴f（x）的增區間為$（-∞，-\sqrt{3}）$，$（\sqrt{3}，+∞）$，減區間為$（-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$．…（10分）
∴f（x）的極大值為$f（-\sqrt{3}）=5+6\sqrt{3}$，f（x）的極小值為$f（\sqrt{3}）=5-6\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性問題以及導數的應用，是一道中檔題．