Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中左焦點為F（-2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段A，B的中點M在圓x²+y²=1上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中左焦點為F（-2，0），列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點為M（x₀，y₀），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-8=0，由此利用要根的判別式、韋達定理、中點坐標公式能求出m的值．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中左焦點為F（-2，0），
∴由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點為M（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消去y得3x²+4mx+2m²-8=0，
△=96-8m²＞0，
∴-2$\sqrt{3}$＜m＜2$\sqrt{3}$，
∵x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2m}{3}$，
∴y₀=x₀+m=$\frac{m}{3}$，
∵點M（x₀，y₀）在圓x²+y²=1上，
∴（-$\frac{2m}{3}$）²+（$\frac{m}{3}$）²=1，
∴m=±$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查實數值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、中點坐標公式、橢圓、圓的性質的合理運用．