Question

12．已知函數f（x）=x²+1．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）用定義法證明函數f（x）在區間（0，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定義域為R，f（-x）=f（x），從而得到函數f（x）是R上的偶函數．
（2）在（0，+∞）上任意選取x₁，x₂，且x₁＜x₂，推導出f（x₁）-f（x₂）＜0，由此能證明函數f（x）在區間（0，+∞）上是增函數．

解答 解：（1）∵函數f（x）=x²+1，
∴f（x）的定義域為R，
∵f（-x）=（-x）²+1=x²+1=f（x），
∴函數f（x）是R上的偶函數．
證明：（2）在（0，+∞）上任意選取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=${{x}_{1}}^{2}+1-{{x}_{2}}^{2}-1$=（x₁-x₂）（x₁+x₂），
∵x₁＞0，x₂＞0，x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在區間（0，+∞）上是增函數．

點評 本題考查函數的奇偶性的判斷，考查函數的單調性的證明，是基礎題，解題時要認真審題，注意定義法的合理運用．