Question

8．已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，左焦點到左頂點的距離為1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點M（1，1）的直線與橢圓C相交于A，B兩點，且點M為弦AB中點，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓離心率為$\frac{1}{2}$，左焦點到左頂點的距離為1，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由點M（1，1）為弦AB中點，利用點差法能求出直線AB的方程．

解答 解：（1）設橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{1}}$=1（a＞b＞0），半焦距為c．
依題意e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
由左焦點到左頂點的距離為1，得a-c=1．
解得c=1，a=2．∴b²=a²-c²=3．
所以橢圓C的標準方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵點M（1，1）為弦AB中點，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓C的標準方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，∴3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴6（x₁-x₂）+8（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
∴直線AB的方程為y-1=-$\frac{3}{4}$（x-1），整理，得：3x+4y-7=0．
∴直線AB的方程為：3x+4y-7=0．

點評 本題考查橢圓方程和直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質和點差法的合理運用．