Question

7．過雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的左焦點F引圓x²+y²=9的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于點P，若M為線段FP的中點，O為坐標原點，則|MO|-|MT|為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由雙曲線方程，算出c=5，根據三角形中位線定理和圓的切線的性質，并結合雙曲線的定義可得|MO|-|MT|=4-a=1，得到本題答案．

解答 解：設雙曲線的右焦點為F′，則MO是△PFF′的中位線，
∴|MO|=$\frac{1}{2}$|PF′|，|MT|=|PF|-|FT|，
根據雙曲線的方程得：
a=3，b=4，c=5，∴|OF|=5，
∵PF是圓x²+y²=9的切線，|OT|=3，
∴Rt△OTF中，|FT|=4，
∴|MO|-|MT|=$\frac{1}{2}$|PF′|-（$\frac{1}{2}$|PF|-|FT|）=|FT|-$\frac{1}{2}$（|PF|-|PF′|）=4-a=1
故答案為：1．

點評 本題給出雙曲線與圓的方程，求|MO|-|MT|的值，著重考查了雙曲線的簡單性質、三角形中位線定理和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．