Question

19．某超市從2017年1月甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數據中分別隨機抽取100個，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分組，得到頻率分布直方圖如下：

假設甲、乙兩種酸奶獨立銷售且日銷售量相互獨立．
（Ⅰ）寫出頻率分布直方圖（甲）中的a值；記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為S₁²與S₂²，試比較S₁²與S₂²的大小（只需寫出結論）；
（Ⅱ）估計在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個高于20箱且另一個不高于20箱的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用頻率分布直方圖的性質即可得出．
（Ⅱ）設事件A：在未來的某一天里，甲種酸奶的銷售量不高于20箱；事件B：在未來的某一天里，乙種酸奶的銷售量不高于20箱；事件C：在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個高于20箱且另一個不高于20箱．求出P（A），P（B），P（C）．

解答 解：（Ⅰ）由各小矩形面積和為1，
得（0.010+a+0.020+0.025+0.030）×10=1，
解得a=0.015，
由頻率分布直方圖可看出，甲的銷售量比較分散，而乙較為集中，主要集中在20-30箱，
故s₁²＞s₂²．
（II）設事件A：在未來的某一天里，甲種酸奶的銷售量不高于20箱；
事件B：在未來的某一天里，乙種酸奶的銷售量不高于20箱；
事件C：在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個高于20箱且另一個不高于20箱．
則P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．
∴P（C）=P（A）P（$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$）P（B）=0.42．
∴甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個高于20箱且另一個不高于20箱的概率0.42．

點評 本題考查離散型隨機變量的方差，頻率分布直方圖，獨立重復試驗概率的求法，考查計算能力，屬于中檔題．