Question

9．已知$\overrightarrow a=（{1，t}）$，$\overrightarrow b=（-5，\;2\;）$且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$，求當k為何值時，
（1）k$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-3\overrightarrow b$垂直；
（2）k$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-3\overrightarrow b$平行．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$，可得-5+2t=1，解得t=3．k$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-3\overrightarrow b$垂直，可得（k$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a-3\overrightarrow b$）=0，聯立解得k．
（2）k$\overrightarrow a+\overrightarrow b$=（k-5，2k+2），$\overrightarrow a-3\overrightarrow b$=（16，-4）．可得16（2k+2）+4（k-5）=0，解得k．

解答 解：（1）$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$，∴-5+2t=1，解得t=3．
∵k$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-3\overrightarrow b$垂直，∴（k$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a-3\overrightarrow b$）=$k{\overrightarrow{a}}^{2}+（1-3k）$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-3${\overrightarrow{b}}^{2}$=k（1+t²）+（1-3k）-3×（25+4）=0，
聯立解得 $k=\frac{86}{7}$．
（2）k$\overrightarrow a+\overrightarrow b$=（k-5，2k+2），$\overrightarrow a-3\overrightarrow b$=（16，-4）．
∴16（2k+2）+4（k-5）=0，解得$k=-\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了向量垂直與數量積的關系、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．