Question

9．已知三被錐S-ABC的體積為$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，底面△ABC是邊長為2的正三角形，且所有頂點都在直徑為SC的球面上．則此球的半徑為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設球心為O，球的半徑為R，過ABC三點的小圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面ABC，作SD⊥平面ABC交CO₁的延長線與D，用半徑表示出OO₁、高SD，利用V_{三棱錐S-ABC}=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$求出R的值．

解答 解：設球心為O，球的半徑為R，
過ABC三點的小圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面ABC，
作SD⊥平面ABC交CO₁的延長線與D，如圖所示；
∵△ABC是正三角形，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，O₁C=$\frac{2}{3}$CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴OO₁=$\sqrt{{R}^{2}-\frac{4}{3}}$，
∴高SD=2OO₁=2$\sqrt{{R}^{2}-\frac{4}{3}}$；
又△ABC是邊長為2的正三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•2²=$\sqrt{3}$，
∴V_{三棱錐S-ABC}=$\frac{1}{3}$•$\sqrt{3}$•2$\sqrt{{R}^{2}-\frac{4}{3}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
解得R=2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了棱錐的體積，球內接多面體的應用問題，解題的關鍵是確定點S到平面ABC的距離，屬于中檔題．