Question

10．若直線ax+by=1（a，b都是正實數）與圓x²+y²=4相交于A，B兩點，當OA⊥OB（O是坐標點）時，ab的最大值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 當OA⊥OB，圓心O（0，0）到直線直線l的距離為$\sqrt{2}$，由此利用基本不等式，能求出ab的最大值．

解答 解：直線ax+by=1（a，b都是正實數）與圓x²+y²=4相交于A，B兩點，當OA⊥OB（O是坐標點）時，
則圓心到直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴a²+b²=$\frac{1}{2}$，
∴2ab≤a²+b²=$\frac{1}{2}$，∴ab≤$\frac{1}{4}$，
∴ab的最大值為$\frac{1}{4}$，
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔試題，本題中OA⊥OB，此時圓心O到直線的距離為$\sqrt{2}$是解答本題的關鍵．