Question

11．已知數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=$\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}$（n∈N^*），則a_n=$\frac{2}{n}$．

Answer 1

分析 由已知求出倒數關系式，從而得到新數列是首項為$\frac{1}{2}$，公差為$\frac{1}{2}$的等差數列，由此能求出a₄．

解答 解：∵數列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=$\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為$\frac{1}{2}$，公差為$\frac{1}{2}$的等差數列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$n，
∴a_n=$\frac{2}{n}$，
故答案為：$\frac{2}{n}$．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．