Question

16．已知鈍角△ABC中，三條邊長為連續正整數．
（1）求最大角的余弦值；
（2）求以此最大角為內角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積．

Answer 1

分析 （1）根據三角形的性質，大邊對大角，利用余弦定理即可求解．
（2）由題意，設出最大角為C，其兩邊分別為a，b，則a+b=4，由平行四邊形的面積S=absinC，利用基本不等式求解最大值即可．

解答 解：（1）由題意，三角形的三條邊長為連續正整數，設中間為m，最大邊則為：m+1，最小邊為m-1．（m
＞1，m∈Z）
設最大角為C，由余弦定理可得：cosC=$\frac{{m}^{2}+（m-1）^{2}-（m+1）^{2}}{2m（m-1）}$=$\frac{m-4}{2m-2}$．
又∵△ABC是鈍角三角形，
∴$\frac{m-4}{2m-2}$＜0，即（m-4）（2m-2）＜0，
解得：1＜m＜4．
∴m=2或3．
當m=2時，cosC=-1，此時三角形不存在．
故得m=3．
∴cosC=$-\frac{1}{4}$．
（2）由（1）可知最大角為C，其兩邊分別為a，b，則a+b=4，
cosC=$-\frac{1}{4}$，則sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$
∴平行四邊形的面積S=absinC
∵a+b$≥2\sqrt{ab}$，（當且僅當a=b時取等號）
可得：ab≤$\frac{1}{4}$．
故得平行四邊形的面積S=absinC$≤\frac{1}{4}×\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{\sqrt{15}}{16}$．

點評 本題考了才余弦定理的靈活運用和計算能力．注意題中隱含的條件，要對邊長進行檢驗．屬于中檔題．