Question

7．證明當x＞-1時，e^x-1≥ln（x+1）．

Answer 1

分析 令f（x）=e^x-1-ln（x+1），f（0）=0．f′（x）=e^x-$\frac{1}{x+1}$，在（-1，+∞）上單調遞增．f′（0）=0，可得函數f（x）在x=0時取得極小值即最小值．即可證明．

解答 證明：令f（x）=e^x-1-ln（x+1），f（0）=1-1-0=0．
f′（x）=e^x-$\frac{1}{x+1}$，在（-1，+∞）上單調遞增，f′（0）=0，-1＜x＜0時，f′（x）＜0；，0＜x時，f′（x）＞0．
∴函數f（x）在x=0時取得極小值即最小值．
∴f（x）＞f（0）=0．
∴當x＞-1時，e^x-1＞ln（x+1）．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、分類討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．