Question

在數列{a_n}，{b_n}中a₁=2，a_n=a_n-1+2n，且a_n，b_n，a_n+1成等差數列．
（1）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）證明：

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+…+

1

an+bn

＜

5

12

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：計算題,證明題,等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）運用a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1），即可得到{a_n}的通項公式，再由等差數列的中項性質，即可求得{b_n}的通項公式；
（2）運用放縮法和裂項相消法，由于n＞1時，

1

2n2+3n+1

＜

1

2n2+2n

=

1

2

•

1

n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），從第二項起，放縮求和即可得證．

解答： （1）解：a₁=2，a_n=a_n-1+2n，（n＞1，n∈N），
則a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=2+2×2+2×3+…+2n
=2+

1

2

（4+2n）（n-1）=n²+n，
由a_n，b_n，a_n+1成等差數列，則2b_n=a_n+a_n+1
=n²+n+（1+n）²+n+1=2n²+4n+2，
則b_n=n²+2n+1，
故a_n=n²+n，b_n=n²+2n+1；
（2）證明：要證

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+…+

1

an+bn

＜

5

12

，
即證

1

2+4

+

1

6+9

+…+

1

2n2+3n+1

＜

5

12

由于n=1時，

1

6

＜

5

12

成立，即證n＞1時成立即可．
由于n＞1時，

1

2n2+3n+1

＜

1

2n2+2n

=

1

2

•

1

n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
則有

1

6+9

+…+

1

2n2+3n+1

＜

1

2

（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1

4

-

1

2(n+1)

，
即有

1

2+4

+

1

6+9

+…+

1

2n2+3n+1

＜

1

6

+

1

4

-

1

2(n+1)

＜

1

6

+

1

4

=

5

12

．
則原不等式成立．

點評：本題考查等差數列的通項和性質，以及求和，考查累加法和裂項相消求和的方法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．