Question

2．由四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁截去三棱錐C₁-B₁CD₁后得到的幾何體如圖所示，四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD 的交點，E為AD的中點，A₁E⊥平面ABCD，
（Ⅰ）證明：A₁O∥平面B₁CD₁；
（Ⅱ）設M是OD的中點，證明：平面A₁EM⊥平面B₁CD₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取B₁D₁中點G，連結A₁G、CG，推導出A₁G$\underset{∥}{=}$OC，從而四邊形OCGA₁是平行四邊形，進而A₁O∥CG，由此能證明A₁O∥平面B₁CD₁．
（Ⅱ）推導出BD⊥A₁E，AO⊥BD，EM⊥BD，從而BD⊥平面A₁EM，再由BD∥B₁D₁，得B₁D₁⊥平面A₁EM，由此能證明平面A₁EM⊥平面B₁CD₁．

解答 證明：（Ⅰ）取B₁D₁中點G，連結A₁G、CG，
∵四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD 的交點，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁截去三棱錐C₁-B₁CD₁后，A₁G$\underset{∥}{=}$OC，
∴四邊形OCGA₁是平行四邊形，∴A₁O∥CG，
∵A₁O?平面B₁CD₁，CG?平面B₁CD₁，
∴A₁O∥平面B₁CD₁．
（Ⅱ）四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁截去三棱錐C₁-B₁CD₁后，BD$\underset{∥}{=}$B₁D₁，
∵M是OD的中點，O為AC與BD 的交點，E為AD的中點，A₁E⊥平面ABCD，
又BD?平面ABCD，∴BD⊥A₁E，
∵四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD 的交點，
∴AO⊥BD，
∵M是OD的中點，E為AD的中點，∴EM⊥BD，
∵A₁E∩EM=E，∴BD⊥平面A₁EM，
∵BD∥B₁D₁，∴B₁D₁⊥平面A₁EM，
∵B₁D₁?平面B₁CD₁，
∴平面A₁EM⊥平面B₁CD₁．

點評 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關系等知識點，考查推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，是中檔題．