Question

17．若直線$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0）過點（1，2），則2a+b的最小值為8．

Answer 1

分析 將（1，2）代入直線方程，求得$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，利用“1”代換，根據基本不等式的性質，即可求得2a+b的最小值．

解答 解：直線$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0）過點（1，2），則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，
由2a+b=（2a+b）×（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）=2+$\frac{4a}{b}$+$\frac{b}{a}$+2=4+$\frac{4a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥4+2$\sqrt{\frac{4a}{b}×\frac{b}{a}}$=4+4=8，
當且僅當$\frac{4a}{b}$=$\frac{b}{a}$，即a=$\frac{1}{2}$，b=1時，取等號，
∴2a+b的最小值為8，
故答案為：8．

點評 本題考查基本不等式的應用，考查“1”代換，考查計算能力，屬于基礎題．