Question

7．如圖，在四棱錐A-EFCB中，四邊形EFCB是梯形，EF∥BC且EF=$\frac{3}{4}$BC，△ABC是邊長為2的正三角形，頂點F在AC上射影為點G，且FG=$\sqrt{3}$，CF=$\frac{{\sqrt{21}}}{2}$，BF=$\frac{5}{2}$．
（1）證明：平面FGB⊥平面ABC；
（2）求三棱錐E-GBC的體積．

Answer 1

分析 （1）由頂點F在AC上投影為點G，得FG⊥AC．取AC的中點為O，連結OB，GB，推導出FG⊥BG，從而FG⊥面ABC，由此能證明面FGB⊥面ABC．
（Ⅱ）由V_E-GBC=V_F-GBC，能求出三棱錐E-GBC的體積．

解答 證明：（1）由頂點F在AC上投影為點G，
可知，FG⊥AC．
取AC的中點為O，連結OB，GB．
在Rt△FGC中，$FG=\sqrt{3}$，$CF=\frac{{\sqrt{21}}}{2}$，所以$CG=\frac{3}{2}$．
在Rt△GBO中，$OB=\sqrt{3}$，$OG=\frac{1}{2}$，所以$BG=\frac{{\sqrt{13}}}{2}$．
∴BG²+GF²=FB²，即FG⊥BG．
∵FG⊥AC，FG⊥GB，AC∩BG=G
∴FG⊥面ABC．
又FG⊆面FGB，∴面FGB⊥面ABC．
解：（Ⅱ）∵EF∥BC，EF?面ABC，BC⊆面ABC
∴EF∥面ABC．V_E-GBC=V_F-GBC
∴三棱錐E-GBC的體積${V_{E-GBC}}={V_{F-GBC}}=\frac{1}{3}×{S_{△GBC}}×h=\frac{1}{3}×\frac{{3\sqrt{3}}}{4}×\sqrt{3}=\frac{3}{4}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關系等知識點，考查推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，是中檔題．