Question

13．已知函數f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$-x）•sin（$\frac{π}{4}$+x）-2$\sqrt{3}$sinxcos（π-x）．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）在[0，$\frac{5π}{6}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數以及二倍角公式化簡函數的解析式，通過正弦函數的單調增區間求解即可．
（Ⅱ）利用三角函數的變換，求出函數的解析式，然后結合x的范圍，求解函數的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$-x）•sin（$\frac{π}{4}$+x）-2$\sqrt{3}$sinxcos（π-x）
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
由2k$π-\frac{π}{2}$$≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得f（x）的單調遞增區間為[k$π-\frac{π}{3}$，k$π+\frac{π}{6}$]k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．函數y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位長度，
得到y=2sin（2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
再將所得圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象，
x∈[0，$\frac{5π}{6}$]，x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，故g（x）∈[-1，2]．g（x）在[0，$\frac{5π}{6}$]上的值域為：[-1，2]．

點評 本題考查三角函數的變換，三角函數的化簡求值，恒等變換的應用，考查計算能力．