Question

4．如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面相互垂直，$AB=\sqrt{2}，AF=1$，M在線段EF上．
（1）若M是線段EF的中點，證明：平面AMD⊥平面BDF；
（2）命題“若M為線段EF的中點，則平面ADM⊥平面BDF”的逆命題是否成立？若成立，給出證明，否則請舉出反例．

Answer 1

分析 （1）推導出BD⊥AC，從而BD⊥平面MA，設AC∩BD=O，連結FO，推導出MA⊥FO，MA⊥FO，由此能證明平面AMD⊥平面BDF．
（2）設AC∩BD=O，OF∩AM=G，連結OF、DG，過F作FH⊥DG于H，推導出AM⊥平面BDF，從而AM⊥OF，∠AMF=∠AFG=$\frac{π}{4}$，進而MF=AF=1，M為EF的中點，從而命題“若M為線段EF的中點，則平面ADM⊥平面BDF”的逆命題是真命題．

解答 證明：（1）在正方形ABCD中，BD⊥AC，BD?平面ABCD，
又∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，且交線是AC，
∴BD⊥平面MA，
設AC∩BD=O，連結FO，
∵AB=$\sqrt{2}$，AF=1，M是線段EF的中點，
∴四邊形AFMO是正方形，∴MA⊥FO，
∵FO∩BD=O，又MA⊥BD，
∵FO∩BD=O，∴MA⊥平面BDF．
∵MA?平面AMD，∴平面AMD⊥平面BDF．
解：（2）命題“若M為線段EF的中點，則平面ADM⊥平面BDF”的逆命題是真命題．
證明如下：
設AC∩BD=O，OF∩AM=G，連結OF、DG，
過F作FH⊥DG于H，
∴平面ADM∩平面BDF=DG，
∵平面ADM⊥平面BDF，FH?平面BDF，
∴FH⊥平面ADM，
∴FH⊥AM，即AM⊥FH，
∵AM⊥BD，BD、FH相交，∴AM⊥平面BDF，∴AM⊥OF，
∴∠AMF=∠AFG，
∵OA=AF=1，∴$∠AFG=\frac{π}{4}$，$∠AMF=\frac{π}{4}$，
∴MF=AF=1，∵正方形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，
∴EF=AC=$\sqrt{2+2}=2$，∴M為EF的中點．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查原命題的逆否命題是否成立的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．