Question

2．如圖，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的邊長AB=1，BC=2，E為BC的中點．
（1）證明：PE⊥DE；
（2）已知PE=$\sqrt{6}$，求A到平面PED的距離．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AE，證明DE⊥AE，結(jié)合DE⊥PA得出DE⊥平面PAE，故DE⊥PE；
（2）利用V_P-ADE=V_A-PDE，列方程求出A到平面PED的距離．

解答 （1）證明：連接AE，
∵在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E為BC的中點，
∴BE=EC=1，∴△ABE與△ECD為等腰直角三角形，
∴∠AEB=∠DEC=45°，∴∠AED=90°，即DE⊥AE，
∵PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，
∴PA⊥DE，又AE∩PA=A，
∴DE⊥平面PAE，∵PE?平面PAE，
∴DE⊥PE．
（2）解：∵PE=$\sqrt{6}$，AE=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，∴PA=$\sqrt{P{E}^{2}-A{E}^{2}}$=2，
∴V_P-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△ADE}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×2$=$\frac{2}{3}$，
又S_△PDE=$\frac{1}{2}×DE×PE$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}$=$\sqrt{3}$，
設(shè)A到平面PED的距離為h，則V_A-PDE=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}h$=$\frac{\sqrt{3}h}{3}$，
∵V_P-ADE=V_A-PDE，
∴$\frac{\sqrt{3}h}{3}$=$\frac{2}{3}$，解得h=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，點到平面的距離計算，棱錐的體積計算，屬于中檔題．