Question

12．已知兩點M（-1，0），N（1，0），若直線y=k（x-2）上至少存在三個點P，使得△MNP是直角三角形，則實數k的取值范圍是（　　）

• A． $[-\frac{{\sqrt{3}}}{3}\;\;，\;\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$
• B． $[-\frac{1}{3}\;，\;\frac{1}{3}]$
• C． $[-\frac{1}{3}\;，\;0）∪（0\;，\;\frac{1}{3}]$
• D． $[-\frac{{\sqrt{3}}}{3}\;，\;0）∪（0\;，\;\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$

Answer 1

分析 若直線y=k（x-2）上至少存在三個點P，使得△MNP是直角三角形，則此直線與以MN為直徑的圓必須有公共點，但是去掉x軸．

解答 解：若直線y=k（x-2）上至少存在三個點P，使得△MNP是直角三角形，
則此直線與以MN為直徑的圓必須有公共點，但是去掉x軸．
∴$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1，k≠0，化為：0＜k²$≤\frac{1}{3}$．
解得$-\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k$≤\frac{\sqrt{3}}{3}$，且k≠0．
故選：D．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．