Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x}{{2{e^x}}}+m$（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，m∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）當(dāng)$m=\frac{1}{e}$時(shí)，求證：?x＞0，f（x）＜x²lnx恒成立；
（3）討論關(guān)于x的方程|lnx|=f（x）的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（2）設(shè)g（x）=x²lnx，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；
（3）設(shè)F（x）=f（x）-|lnx|，通過(guò)討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性判斷函數(shù)的零點(diǎn)即方程根的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-x}{{2e}^{x}}$，
由f′（x）=0得x=1，x＜1時(shí)，f′（x）＞0，
x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，1]遞增，在[1，+∞）遞減，
f（x）_極大值=f（1）=$\frac{1}{2e}$+m，無(wú)極小值；
（2）由（1）得：x＞0時(shí)，f（x）≤$\frac{1}{2e}$+m=-$\frac{1}{2e}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”，
設(shè)g（x）=x²lnx，則g′（x）=x（2lnx+1），
由g′（x）=0解得：x=${e}^{-\frac{1}{2}}$，
x＜${e}^{-\frac{1}{2}}$時(shí)，g′（x）＜0，x＞${e}^{-\frac{1}{2}}$時(shí)，g′（x）＞0，
故g（x）在（0，${e}^{-\frac{1}{2}}$]遞減，在[${e}^{-\frac{1}{2}}$，+∞）遞增，
當(dāng)且僅當(dāng)x=${e}^{-\frac{1}{2}}$時(shí)，g（x）_min=-$\frac{1}{2e}$；
∴f（x）≤-$\frac{1}{2e}$≤g（x），兩等號(hào)不同時(shí)取，
故?x＞0，f（x）＜x²lnx恒成立；
（3）設(shè)F（x）=f（x）-|lnx|，∴F（x）=f（x）-lnx，x≥1，
∵f（x），-lnx都在[1，+∞）遞減，
∴F（x）在[1，+∞）遞減，∵F（1）=$\frac{1}{2e}$+m，
∴m=-$\frac{1}{2e}$時(shí)，F(xiàn)（x）在[1，+∞）恰有1個(gè)零點(diǎn)x=1，
當(dāng)m＜-$\frac{1}{2e}$時(shí)，?x≥1，F(xiàn)（x）≤F（1）＜0，
∴F（x）在[1，+∞）無(wú)零點(diǎn)，
當(dāng)m＞-$\frac{1}{2e}$時(shí)，F(xiàn)（1）＞0，?x＞1，F(xiàn)（x）＜$\frac{1}{2e}$+m-lnx，
顯然${e}^{\frac{1}{2e}+m}$＞1，
∴F（${e}^{\frac{1}{2e}+m}$）＜$\frac{1}{2e}$+m-ln${e}^{\frac{1}{2e}+m}$=0，
∴F（x）的圖象不間斷，
∴F（x）在[1，+∞）恰有1個(gè)零點(diǎn)，且不是1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）+lnx，
∵f（x），lnx都在（0，1]遞增，
∴F（x）在（0，1]遞增，∵F（1）=$\frac{1}{2e}$+m，
∴m≤-$\frac{1}{2e}$時(shí)，?0＜x＜1，F(xiàn)（x）＜F（1）≤0，
∴F（x）在（0，1）無(wú)零點(diǎn)，
當(dāng)m＞-$\frac{1}{2e}$時(shí)，F(xiàn)（1）＞0，?0＜x＜1，F(xiàn)（x）＜＜$\frac{1}{2e}$+m+lnx，
顯然${e}^{-（\frac{1}{2e}+m）}$∈（0，1），
∴F（${e}^{-（\frac{1}{2e}+m）}$）＜$\frac{1}{2e}$+m+ln${e}^{-（\frac{1}{2e}+m）}$=0，
∵F（x）的圖象不間斷，∴F（x）在（0，1）恰有1個(gè)零點(diǎn)，
綜上，m=-$\frac{1}{2e}$時(shí)，方程|lnx|=f（x）恰有1個(gè)實(shí)根，
m＜-$\frac{1}{2e}$時(shí)，方程|lnx|=f（x）無(wú)實(shí)根，
m＞-$\frac{1}{2e}$時(shí)，方程|lnx|=f（x）有2個(gè)不同的實(shí)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．