Question

7．若不等式[y²+（2x-5）y-x²]•（lnx-lny）≤0對任意的y∈（0，+∞）恒成立，則實數x的取值集合為{$\frac{5}{2}$}．

Answer 1

分析 把x看作常數，令f（y）=y²+（2x-5）y-x²，討論f（y）的單調性和x，y的大小關系，計算f（y）的最值，根據式子恒成立列不等式得出a的范圍．

解答 解：設f（y）=y²+（2x-5）y-x²，x＞0，y＞0，
則f（y）的圖象開口向上，對稱軸為y=$\frac{5-2x}{2}$，
顯然當x=y時，不等式恒成立．
（I）若$\frac{5-2x}{2}$≤0，即x≥$\frac{5}{2}$時，f（y）在（0，+∞）上單調遞增，
①若lnx-lny＞0，即0＜y＜x時，f（y）≤0恒成立，
∴f（y）＜f（x）=（2x-5）x≤0，解得0≤x≤$\frac{5}{2}$，∴x=$\frac{5}{2}$；
②若lnx-lny＜0，即y＞x時，f（y）≥0恒成立，
∴f（y）＞f（x）=（2x-5）x≥0，解得x≥$\frac{5}{2}$，
綜上，x=$\frac{5}{2}$．
（II）若$\frac{5-2x}{2}$＞0，即0$＜x＜\frac{5}{2}$時，f（y）在（0，$\frac{5-2x}{2}$）上單調遞減，在（$\frac{5-2x}{2}$，+∞）上單調遞增．
①若lnx-lny＞0，即0＜y＜x時，f（y）≤0恒成立，
若x≤$\frac{5-2x}{2}$，即0＜x≤$\frac{5}{4}$時，f（y）在（0，x）上單調遞減，
∴f（y）＜f（0）=-x²＜0，符合題意；
若x＞$\frac{5-2x}{2}$，即x＞$\frac{5}{4}$時，f（y）在（0，x）上先減后增，
又f（0）＜0，故只需f（x）≤0即可，
∴f（x）=（2x-5）x≤0，解得0≤x≤$\frac{5}{2}$，∴0＜x＜$\frac{5}{2}$．
②若lnx-lny＜0，即y＞x時，f（y）≥0恒成立，
若x≤$\frac{5-2x}{2}$，即0＜x≤$\frac{5}{4}$時，f（y）在（x，+∞）上先減后增，
∴f（y）≥f（$\frac{5-2x}{2}$）=$\frac{-8{x}^{2}+20x-25}{4}$≥0，不等式無解，
若x＞$\frac{5-2x}{2}$，即x＞$\frac{5}{4}$時，f（y）在（x，+∞）上單調遞增，
∴f（y）＞f（x）=（2x-5）x≥0．解得x≥$\frac{5}{2}$（舍）．
綜上，不存在x使得對任意的y∈（0，+∞）原不等式恒成立．
綜合（I）（II）可得，x=$\frac{5}{2}$．
故答案為：{$\frac{5}{2}$}．

點評 本題考查了二次函數的性質，函數恒成立問題，分類討論思想，屬于中檔題．